Валерий Федорович Быковский родился 2 августа 1934 года в подмосковном городе Павловский Посад.
В детстве Валерий несколько лет прожил с родителями в Тегеране (Иран). Вернувшись на родину, он учился в мужской средней железнодорожной школе №1 г. Москвы. Сначала он мечтал стать моряком, но в 10 классе в школу пришел инструктор аэроклуба и так увлекательно рассказывал про авиацию, что В. Быковский решил пойти учиться в Московский аэроклуб ДОСААФ, где получил право пилотировать самолет.
В 1953 году он окончил 6-ю военную авиационную школу первоначального обучения летчиков в г. Каменка Пензенской области, в 1955 году – Качинское военное авиационное училище летчиков (ВАУЛ) им. А.Ф. Мясникова Северо-Кавказского ВО.
С января 1956 года Валерий Федорович Быковский служил лётчиком, а с 1957 года – старшим лётчиком 23-го истребительного авиационного полка 17-й истребительной авиационной дивизии Московского округа ПВО.
В 1960 г. приказом Главкома ВВС №267 от 7 марта он был зачислен в отряд космонавтов Центра подготовки космонавтов ВВС (ныне ЦПК имени Ю.А. Гагарина), и вошёл в число первых 20-ти лётчиков, отобранных для полётов в космос (1-й отряд космонавтов).
Первый космический полет Валерия Быковского состоялся с 14 по 19 июня 1963 года в качестве командира пятого пилотируемого космического корабля из серии «Восток» (позывной В. Быковского – «Ястреб»). С 16 по 19 июня одновременно с «Востоком-5» в космосе находился космический корабль «Восток-6», который пилотировала первая в мире женщина-космонавт Валентина Терешкова. Валерием Быковским был поставлен непревзойденный до сих пор рекорд продолжительности одиночного (в одноместном космическом корабле) полета – 4 суток 23 часа 6 минут.
13 апреля 1963 г. С.П. Королев и Н.П. Каманин согласовали программу предстоявшего полета: на первом корабле должен был лететь мужчина на 8 суток, на втором – женщина на 2–3 суток. 7 июня 1963 г. на Госкомиссии журналистам были представлены космонавты: майоры В. Быковский и Б.В. Волынов, младшие лейтенанты В.В. Терешкова, И.Б. Соловьева и В.Л. Пономарева, а также оглашены планы полетов: мужчина будет летать до восьми суток, женщина – до трех.
План исследований предполагал изучение влияния продолжительного космического полета на организм человека, а также испытание бортовых систем. Кроме того, предстояло решать задачи слаженной работы служб космодрома, совместного управления двумя пилотируемыми космическими кораблями, обеспечения радиосвязи между ними.
9 июня ракетно-космический комплекс вывезли на стартовую площадку в расчете произвести запуск космического корабля «Восток-5» 11 июня. Но старт дважды переносился из-за зарегистрированной повышенной активности Солнца. Ученые опасались, что доза облучения космонавта превысит 50 рентген и будет слишком опасна. Было принято решение произвести пуск «Восток-5» 14 июня в 14:00 по местному времени.
Когда была объявлена сорокаминутная готовность, обнаружилось, что катапультное кресло было подготовлено неправильно (сотрудник завода не смог вытащить фал с предохранительной чекой и обрезал его), что делало катапультирование космонавта практически невозможным.
Главный конструктор скафандров и катапульт С.М. Алексеев принял решение: произвести расчековку катапульты и удалить обрезок фала непосредственно под креслом с сидящим в нем космонавтом.
После ликвидации этой неисправности выяснилось, что отказал гироскоп третьей ступени ракеты-носителя. Было решено еще немного задержать старт и пойти на риск замены прибора на заправленной ракете с сидящим в ней В. Быковским. Сменный гироскоп был быстро установлен, и запуск «Востока-5» состоялся 14 июня 1963 г. около 17 часов по местному времени (с задержкой на 3 часа) со стартового комплекса площадки №1 космодрома Байконур. «Восток-6» с В.В. Терешковой стартовал на два дня позже.
«Восток-5» был выведен на более низкую, чем предполагалось, орбиту 175×222 километра против обычных 181×235 километров.
Валерий Быковский быстро адаптировался к невесомости. Самочувствие космонавта в ходе всего полета оставалось хорошим. На пятом витке В.Ф. Быковского можно было наблюдать по телевидению.
Несколько раз он брал на себя ручное управление кораблем, ориентировал «Восток-5» «по посадочному».
В течение всего полета В.Ф. Быковский вел наблюдения Земли, Солнца, звезд; проводил киносъемку на черно-белую пленку. Увидеть «Восток-6» ему не удалось.
В.Ф. Быковский и В.В. Терешкова поддерживали радиосвязь с Землёй, а также вели радиообмен между собой (до вторых суток полета «Восток-6»).
Также во время полета Быковский занимался физическими упражнениями и проверял реакцию своего организма на невесомость. Также он проводил и научные эксперименты, например, вел наблюдения за ростом гороха, проводил опыты с пузырьком воздуха в пробирке с жидкостью.
«Восток-6» возвратили на Землю первым, как и было запланировано. Что касается продолжительности полета «Восток-5», то в связи со снижением орбиты корабля и ввиду солнечной активности Госкомиссия приняла решение сажать «Ястреба» на 82-м витке, к концу пятых суток полета. Таким образом «Восток-5» вернулся на Землю в тот же день, 19-го июня, что и «Восток-6».
Быковский приземлился в казахстанской степи между двух деревень (в 540 км северо-западнее г. Караганды Казахской ССР). Катапультирование прошло нормально. Перелет расчетного места посадки составил около 2°. Утром 20 июня В.Ф. Быковский и В.В. Терешкова были доставлены в Куйбышев для послеполетного отчета, медобследования и реабилитации. В Москву они прибыли 22 июня. После полета В. Быковский получил почетное звание Героя Советского Союза.
Этим совместным полётом была завершена программа на кораблях серии «Восток».